주기성 신호(Periodic Signal), 사인파 신호(Sinusoidal Signal)

소음이나 진동을 측정한 후 유의미한 데이터를 도출하기 위해 분석할 때, 우리는 "신호처리(Signal Processing)" 라는 과정을 반드시 거치게 된다. 그 중 "신호" 에 대한 내용부터 조금씩 정리하려고 한다.


1. '신호' 란?
소음진동 분야에서 신호(Signal)는 시간(Time)에 따라 변하는 각종 물리량을 의미한다고 할 수 있다. 공학 분야에서는 '시간에 따라 변하는' 것에는 주로 Dynamic 이라는 단어를 붙여서 명명하기 때문에, 일반적으로 '신호(Signal)' 라고 말하면 '동적신호(Dynamic Signal)' 을 말하는 것으로 이해해도 무방할 것이다.


2. 신호의 분류
신호가 시간에 따라 변하되, 어떤 양상으로 변하느냐에 따라서 신호를 크게 3가지로 분류해볼 수 있다.

(1) 주기성 신호 (Periodic Signal) : 신호가 일정한 시간간격에 따라 주기적으로 반복된다.

 

(2) 무작위성 신호 (Random Signal) : 신호가 시간에 따라 무작위적으로 변동하며 나타난다.

 

(3) 과도 신호 (Transient Signal) : 신호가 순간적으로 나타났다가 시간이 지나면 사실상 사라져버린다.

위 세가지는 '신호가 시간에 따라 변하는 양상' 을 기준으로 분류한 것이다. 사실, 신호의 분류는 관점에 따라 더 다양한 방법으로 할 수 있다. 이 부분은 다른 글에서 정리하겠다.


3. 주기성 신호 (Periodic Signal) 와 사인파 신호(Sinusoidal Signal)
주기성 신호는 신호가 일정한 시간간격에 따라 주기적으로 반복된다고 하였다. 일상생활에서 주기성 신호를 보려면, "선풍기"를 떠올리면 좋겠다. 선풍기는 사용자가 설정한 회전속력에 맞추어 일정한 속력으로 돌아간다. 선풍기의 진동을 측정하면 모터의 회전속도에 맞추어 주기적으로 반복되는 신호 형태로 나타날 것이다. (물론, 선풍기 날개 갯수에 따른 주기성 신호도 나타날 것이다.)

수학적으로 가장 간단한 형식의 주기성 신호는 아무래도 '사인파 신호(Sinusoidal Signal)' 일 것이다. 사인파 신호는 아래 식과 같이 표현한다. A는 진폭(Amplitude)을, ω는 각진동수(Angular Frequency), t는 시간(Time), φ는 위상각(Phase)을 의미하는 파라미터들이다. (※ 참고로, 각진동수(ω) 와 주파수(f) 의 관계는 ω = 2πf 임.)

4. '사인파 신호' 의 파라미터 별 변화
사인파 신호를 그래프로 그려보고, 각 파라미터를 변경할 때 파형이 어떻게 변하는지 관찰해보면 사인파의 특징을 직관적으로 이해하는데 도움이 된다. 우선, 기준(reference) 파형을 아래 그림과 같이 그래프로 나타내봤다. ω = 약 12.57 로 설정하여 주파수 f = 2 Hz 가 되도록 했다. A (amplitude) = 1 로 설정하고, φ (phase) = 0 으로 설정했다. 우리가 익숙하게 봐 왔던 '사인파' 곡선이 1초에 2번 반복되는 꼴로 나타나는 것이 보인다.

 

(1) 진폭 조정

이번에는 진폭 A (amplitude) 를 1 → 1.5 로 변경해보겠다. 주황색이 A = 1.5 로 변경한 그래프고, 검은색은 기존의 A = 1 그래프다. 진폭이 1 에서 1.5 로 증가한 것을 볼 수 있다.

 

반대로, A = 1 → 0.5 로 낮춰봤다. 그래프를 보면 진폭이 0.5 로 감소한 것을 알 수 있다.

 

(2) 각진동수(주파수) 조정
이번에는 각진동수 ω 를 12.6 → 25.1 정도로 조정하여, 주파수 f = 2 → 4 Hz 가 되도록 조정했다. (※ 각진동수(ω) 와 주파수(f) 의 관계는 ω = 2πf 임.) 주황색 선이 변경한 그래프고, 검은색은 기존 그래프다. f=2 였을 때는 1초에 사인파가 2회 발생하지만, f = 4 Hz 로 바꾸니 사인파가 1초에 4번 발생하는 것을 볼 수 있다.

 

반대로, ω를 6.3 정도로 조정하여 f = 1 Hz 이 되도록 했다. 그러자 1초에 사인파가 1번 발생하는 것을 볼 수 있다.

 

(3) 위상각 조정

이번에는 위상각(Phase)을 조정해 봤다. 기존에 φ = 0 이었던 것을 약 φ = +π/4 (=+45º) 로 조정해봤다. 주황색이 위상각 +45º 처리된 그래프고, 검은색이 기존의 위상각 0º 의 그래프다. 위상각이 45º 추가되자, 기준그래프(검정) 대비 뒷쪽(시간 역행 방향)으로 얼마간 밀려난 것을 볼 수 있다.

 

반대로, φ = -π/4 (=-45º) 로 조정해봤다. 기준그래프(검정) 대비 앞쪽(시간 정방향)으로 얼마간 밀려난 것을 볼 수 있다.

 

위상각 조정을 하나만 더 해보자. 이번에는 위상각을 +90º 로 조정해봤다. 그러자 '코사인' 그래프 형태가 탄생했다.

 

그래프에서 알 수 있듯이, '코사인'은 '사인' 보다 90º (또는 π/2) 만큼 지연된다. 그래서 '사인' 과 '코사인'의 관계는 아래 식과 같이 나타내기도 한다.

오늘은 여기까지.
끝.


(※ 개인적으로 공부하고 나름대로 이해한 것을 정리한 것입니다. 혹시 틀린것이 있다면 알려주세요^^ 저도 좋은 공부가 될 것같네요.)