사인파의 합성과 맥놀이(Beating)

2개의 sine파 신호를 서로 합성시키면, 새로운 주기성 신호(periodic signal)을 얻을 수 있다.

 

 

이미 잘 아는 바와 같이, 순수 sine파 신호는 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

임의의 sine파 신호 2개 x₁(t),  x₂(t) 를 합성한 신호는 어떤 형상으로 나타날까? sine파 신호 합성의 결과를 직관적으로 살펴보기 위해, 가상의 x₁(t),  x₂(t) 신호를 만들어 몇 가지 합성을 수행해봤다. (※ 비교 목적상, 모든 그래프의 시간(t)축은 1초로 통일하여 정리했다.)

 

 

 

우선,

x₁(t) 신호는 연두색으로 표시하였다.

x₂(t) 신호는 하늘색으로 표시하였다.

두 신호의 합(summation)은 주황색으로 표시하였다.

 

 

초기 두 신호의 주파수는 1 Hz 로 설정했다.

진폭(A)도 동일하게 5 로 설정했다.

위상(Φ)은 동일하게 0 으로 설정했다.

 

 

진폭5, 주파수 1 Hz 인 사인파 2개를 합하자,

진폭이 2배로 증가(5+5=10)하고,

주파수는 1 Hz 인 새로운 sine파가 탄생했다.

 

 

 

 

(1) 주파수 변화 Test #1 

 

여기서, x₁(t) 신호는 1 Hz 로 고정해두고,  x₂(t) 신호의 주파수만 1 Hz → 100 Hz 까지 단계적으로 변화시켜봤다.

 

 

 

합성파의 특징을 살펴보자. 우선, 진폭은 2배인 10(=5+5)으로 유지된다. 

 

합성파의 주파수는, 변동하는 x₂(t) 신호의 주파수를 추종한다. 그러나 합성파의 중심선은, 저주파수인 x₁(t) 신호를 따라간다. 마치 고주파수의 x₂(t) 신호가 저주파수의 x₁(t) 신호를 타고가는(riding) 듯한 모양새다.

 

 

 

(2) 주파수 변화 Test #2

 

이번에는 x₂(t)의 주파수를 100 Hz 로 고정한 상태에서, x₁(t)의 주파수를 1 Hz → 100 Hz 까지 변동시켜봤다.

 

 

 

합성파의 중심선이 x₁(t)의 주파수를 따라 변화하다가, x₁(t)의 주파수가 100 Hz 에 가까워질수록 「맥동(Fluctuation)」 현상이 발생하는 것을 볼 수 있다.

 

 

맥동은 x₁(t)의 주파수 99 Hz 일 때 파장이 가장 길어졌다가, 100 Hz 에서는 x₁(t)와 x₂(t)의 주파수가 완전하게 일치하여, 주파수 100 Hz 이면서 진폭이 10 인 파형으로 변했다.

 

- Test 끝 -

 

 

 

(3) 맥놀이 (Beating)

 

x₁(t) = 98 Hz, x₂(t) = 100 Hz 일때의 합성파 신호를 다시한번 보자.

 

 

 

주파수가 상대적으로 가까운 두 sine파 신호를 합하면 위 그림과 같은 특별한 현상이 발생한다. 이 현상의 이름을 Beat (또는, Beating, 맥놀이) 라고 한다.

 

 

정말.... 우스꽝스러운 표현이라고 생각하지만, 위 그래프에 자체적인 음성지원을 넣어봤다. (※ 더 나은 방법은 없었을까... 지금도 고민된다... 비웃어도 된다.) 합성된 Beat 신호는 "우(woo)" 라는 사운드가 난다고 가정해보자. 그러면, 아래 그림과 같이 Beat 진폭이 커졌다, 작아졌다를 반복하면서 "우~웅 ... 우~웅 ... 우~웅..." 과 같은 식으로 소리가 날 것이다.

 

 

 

문헌(출처1 참조)에 따르면, 사람은 이 Beat 신호의 1주기(period)가 얼마만큼 걸리는지, 주파수가 1 Hz 인지 2 Hz 인지 직관적으로 인식하지 못한다고 하며, 다만, 사람은 주관적으로(subjectively) Beat 가 만들어내는 진폭의 변화(맥동)를 인지할 뿐이라고 한다. 즉, 사람이 Beat 신호에서 1 Cycle 로 인식하는 부분은, 아래 그림과 같이 진폭이 0 인 두 지점 사이의 구간이다. 

 

 

 

이러한 관점에서, 위 그래프에서 Beat 신호가 만들어내는 진폭의 변화(맥동)는 1초에 2번 발생하는 것을 알 수 있다. 주파수로 따지면 2 Hz 인 것이다. 이것을 이 Beat 신호의 진폭이 변동하는 주파수, Beat Frequency (맥놀이 주파수)라고 한다. (※ 위키백과에서는 의미를 더 명확히 하기 위해, Audible Beat Frequency 라고도 표현하였다.)

 

 

Beat 를 형성하는 두 신호 x₁(t) 와 x₂(t) 의 주파수인 f₁ 과 f₂ 를 알면, Beat Frequency 는 '두 주파수의 차'로 계산할 수 있다. (※ 위 그래프의 경우, Beat Frequency = 2 Hz = │98 - 100│)

 

 

 

Beat 신호를 언뜻 보면, 아래 그림과 같이 Beat 의 포락선(Envelop, 검은색 점선)이 1 Hz 이기 때문에, Beat Frequency = 1 Hz 아니냐... 라고 생각할 수 있다. 그러나 Beat Frequency 는 2 Hz 다. Beat Frequency 를 정의하는 방법은 위에 설명한 바와 같이, (사람이 주관적으로 느끼는) Beat 에 의해 변동하는 진폭을 기준으로 한다는 점에서 다소 차이가 있다.

 

 

 

위 그림에서 나타난 cosine 포락선(검은색 점선)의 주파수는 sine 신호의 합성을 계산할 때 한번 더 등장한다. 이 부분은 다음 글에서 정리할 예정이다.

 

 

끝.

 

 

<Reference>

(1) 출처1. 위키백과 "Beat" (https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#cite_ref-5)