사인파의 합성과 위상차(Phase Difference)

두 sine파 신호의 위상(Phase)이 다르다면, 그 합성파는 어떤 모습이 될까?



사실, 두 sine파의 합성파 신호의 모양은, 두 신호의 위상차(Phase Difference)에 따라 크게 달라진다.



이번 글에서는, 위상차이가 있는 두 sine파의 합성을 "그래프" 를 통해 직관적으로 관찰해보고자 한다.

위상이 바뀌면 그래프는 어떻게 변하지?

먼저, 위상이 바뀌면 sine파형 그래프 자체가 어떻게 변하는지부터 알아보자.



가상의 x₁(t) 와 x₂(t) 신호를 만들어서, 진폭 A₁ = A₂ = 8 로 고정하고, 주파수는 f₁ = f₂ = 2 Hz 로 고정했다. 다만, 위상(Phase)은 변화를 줬다. x₁(t) 신호의 위상인 φ₁ 은 0º 로 고정하고, x₂(t) 신호의 위상인 φ₂ 를 0º → 360º 까지 10º 씩 변경하며 그래프 상 변화를 확인해봤다.

아래 그래프에서 볼 수 있듯이, 위상이 0º → 360º 로 증가할수록 x₂(t) 신호는 시간의 역방향으로 밀리는(shift) 형태로 나타나는 것을 볼 수 있다. (참고로, 그래프의 수평축은 시간, 수직축은 진폭이다.)

두 sine파의 위상이 완전히 같은 경우, 합성파 신호의 진폭은 x₁(t) + x₂(t) = 2x₁(t) = 2x₂(t) 와 같이 그저 신호를 2배로 계산해주면 그만이다. 왜냐하면 두 sine파 신호의 진폭은 모든 시점에서 동일하기 때문이다. (예를들어, 0.6초 에서 두 신호의 진폭은 7.61로 동일하다. 그러니... 두 신호를 합한다는 것은, 그저 2배로 계산하는 것과 같다.)

그러나, 서로 위상이 다른 경우에는 마냥 2배가 되지 않는다. 위상차 때문에, 대부분의 시점에서 두 신호의 진폭값이 다르기 때문이다. (예를들어, 0.6초 에서 x₁(t) = 7.61 이지만, x₂(t) = 2.47 로 다르다. 그러니... 두 신호의 합이 꼭 신호의 2배가 되는게 아니다.)

위상차(Phase Difference)에 따라
두 사인파의 합성파 신호는 어떻게 변할까?

그러면 이제, 두 신호의 위상차이(Phase Difference)의 변화에 따라, 그 합성(+)파의 형상은 어떻게 변하는지 알아보자.



x₁(t) 신호의 위상인 φ₁ 은 0º 로 고정하고, x₂(t) 신호의 위상인 φ₂ 를 0º → 360º 까지 10º 씩 변경하며, 두 신호의 합성(+)파 인 y(t) 신호의 변화를 그래프로 그려봤다.

특이한 점이 있다면...
두 신호의 위상차가 커질수록 합성파 y(t) 신호의 진폭은 점점 작아진다. 그러다가, 위상차가 180º 가 되면 두 신호의 파형이 완전히 반전되면서 y(t) 신호의 진폭이 0 이 된다. (두 신호를 합성하더라도, 합성파의 진폭은 오히려 작아질수도 있다!)



중요한 점은, 두 sine파의 위상차(Phase Difference)에 따라 합성파의 진폭이 매우 큰 폭으로 변동한다는 것이다. 최대 2배가 될 때도 있었고, 최소 0 이 될 때도 있었다.



만약...
위상차 뿐만 아니라, 주파수까지 서로 차이가 난다고 해보자. 예를들어, 두 신호의 주파수는 각각 2 Hz 및 4 Hz 로 2배 차이가 있고, 위상차이가 없는 신호를 주황색으로, 위상차이가 90도 있는 신호를 보라색으로 표현해봤다.

위 그래프를 보고, 어느 그래프의 진폭이 더 큰지 말 할 수 있을까? 말할 수 없다고 생각한다. 이제는 순수한 sine파 형태가 아닐 뿐만 아니라 각 신호의 최고점이 다 달라졌기 때문이다.




예를들어, A+B=C 합성파 신호가 있고, A+B=D 합성파 신호가 있다고 해보자. C 신호와 D 신호중 어느것이 더 큰 신호인가? 어느 합성파의 진폭이 더 큰가? ... 이건 명확히 답할 수 없다. 굳이 말하자면, “위상차” 에 따라 C가 클수도 있고, D가 클수도 있다... 정도로 답하는게 낫겠다.



그래서, sine파 신호의 "진폭" 은, 합성파가 아닌 순수 단일 sine 신호에서만 의미가 있는 개념이다. 합성파에서는 신호의 최고점이 다 달라질 뿐더러, 경우에 따라서는 위상이 완전히 반전되어 합성파 신호자체가 0 수준으로 작아지기도한다.

요약 & 결론

(1) 두 sine파의 합성시, 합성파의 모양은 두 sine파의 위상차(Phase Difference)에 크게 영향을 받는다.


(2) 진폭은 순수 sine신호에서는 의미가 있지만, sine파가 여러개 합성된 파형에서는 조건에 따라 변하기 때문에, 정확하게 정의될 수 없다.




끝.