선형 시스템 (Linear System)

진동 측정 및 분석에 있어서, 분석 대상이 '선형 시스템(Linear System)'인지 아닌지를 먼저 파악하고 정의하는 것은 매우 중요하다.

오늘은 선형 시스템에 대해서 공부한 내용을 나름 정리해보려고 한다.

1. 시스템 (System, 계)

시스템(system)은 입력(input)을 받아 출력(output)을 발생시키는 개체라고 할 수 있다. 그 중에서도 진동과 같이 동적 신호(dynamic signal)를 다루는 시스템을 동적 시스템(dynamic system)이라고 부른다. (※ 그냥 '시스템' 이라고 부르겠다.)

많은 경우에 있어서 시스템을 미분방정식(differential equation)으로 표현하고 그로부터 수학적인 분석 작업을 수행한다. 대표적인 예로, 질량-감쇠-강성으로 구성되는 운동방정식이 있다.

그리고, 만약 어떤 시스템을 선형 미분방정식(linear differential equation) 으로 표현할 수 있다면, 그 시스템은 선형 시스템(linear system) 이라고 부를 수 있다.

반대로 어떤 시스템을 선형 미분방정식으로 표현할 수 없다면, 그 시스템은 비선형 시스템(nonlinear system) 이라고 부를 수 있다.

2. 선형성 (Linearity)

서두에 쓴 것처럼, 분석 대상이 '선형 시스템(Linear System)'인지 아닌지를 파악하고 정의하는 것이 중요하다.

시스템이 선형이라면, 여러 석학들이 정리해 놓은 수학적 방법들을 사용해서 분석을 수행하고 값을 예측하는 작업들이 가능하다. 그러나 비선형 시스템 이라면, 그 시스템에 대해 세워놓은 기본적인 가정들 및 선형 시스템 분석에서 사용한 기법 및 해법들은 대부분 먹혀들지 않게 된다.

현실에서는 완벽하게 선형인 시스템은 거의 존재하지 않는다. 다만, 우리가 할 수 있는 것은 수학적으로 선형성(Linearity)을 갖는 조건을 정의하고, 우리가 관찰하는 시스템이 그 조건을 만족하는지를 조사하고 판단하는 것일 것이다.

시스템이 선형성(Linearity)을 갖기 위해서는 수학적으로 다음 두가지 조건을 만족해야 한다. 그리고 이 두조건을 통합해서 '중첩의 원리(Superposition Principle)'라고 부른다.

(1) 가산성 (Additivity)
(2) 균질성 (Homogeneity, 비례성)

결론적으로, 어떤 시스템이 선형성(Linearity)을 갖기 위해서는 중첩의 원리(Superposition Principle)를 만족해야 한다.

3. 중첩의 원리 (Superposition Principle)

어떤 시스템 h(t) 가 있다고 해보자.
이 시스템으로 x₁(t) 가 입력되면 y₁(t) 가 출력되고, x₂(t) 가 입력되면 y₂(t) 가 출력된다고 해보자.

가산성 (Additivity) 은 x₁(t) + x₂(t) 가 입력되었을 때, y₁(t) + y₂(t) 이 출력되는 성질을 의미한다.

균질성 (Homogeneity, 비례성) 은 x₁(t) 대신 상수 c₁이 곱해진 c₁x₁(t) 가 입력으로 주어지면 c₁y₁(t) 가 출력되고, x₂(t) 대신 상수 c₂가 곱해진 c₂x₂(t) 가 입력으로 주어지면 c₂y₂(t) 가 출력되는 성질을 의미한다.

그러니, 이 둘을 종합하는 중첩의 원리(Superposition Principle)는 아래 그림과 같은 성질을 의미한다고 하겠다.

4. 시불변 (Time Invariant)

선형 시스템 중 우리가 특별히 관심을 갖져야하는 시스템이 있다. 이른바, 시불변 시스템 (Time Invariant System) 이다.

시불변 시스템의 대전제는, 시스템을 구성하는 파라미터들이 시간에 대해 독립적이라는 것이다. (시간이 지나도 변하지 않는다.)

미분방정식 관점에서는, 미분방정식을 구성하는 모든 계수(coefficient)들이 시간에 대해 독립적인 것을 시불변이라고 한다. 그래서, 어떤 시스템을 미분방정식으로 표현하였을 때, 그 계수들이 시간에 대해 독립적이라면 그 시스템 또한 시간에 대해 독립적으로 작용한다고 할 수 있겠다. (=시불변 시스템!)

기계 진동 시스템이 시불변이라고 한다면, 아래 운동방정식의 질량(m), 감쇠(c), 강성(k) 계수(coefficient)들이 시간이 지나도 변하지 않는다는 것을 의미한다.

사실, 시스템의 전체 수명 기간을 고려해보면 질량, 감쇠, 강성은 천천히 변화한다. 완벽한 시불변은 아니다. 그러나, 우리가 그 시스템을 관측하는 기간은 전체 수명에 비해 매우 짧기때문에, 그 기간 동안 계수들이 유의미한 변화를 보이지는 않을 것이다. 이런 점을 고려했을때, 위와같은 기계진동의 운동방정식을 ‘시불변’ 이라고 정의하는 것은 합리적인 것으로 보인다.

어쨌든, 선형(Linear) 조건을 만족하면서, 모든 파라미터들이 시불변(Time Invariant)인 시스템을 '시불변 선형 시스템(Time Invariant Linear System)'이라고 부른다.

5. 번외

관심 대상 시스템이 '시불변 선형 시스템' 임을 확인했다면, 이제부터는 입력과 출력이 서로 어떤 관계가 있는지 관심있게 봐야 할 것이다. 입력과 출력의 관계를 수학적으로 설명할 때 가장 많이 사용되는 이론은 아무래도 라플라스 변환 (Laplace Transform) 일 것이다. 이 부분은 다음 기회에 정리를 해봐야겠다.





끝.