전달함수 (Transfer Function)

 

 

1. 전달함수 (Transfer Function)

전달함수는 어떤 시스템의 입력과 출력의 관계를 표현하는 수학적 방법이다. (※ 시스템은 '시불변시스템(Linear Time Invariant)' 이다.)

 

전달함수는 라플라스 변환을 활용하여 표현할 수 있다.

 

예를 들어보자.
시간에 대한 함수로서 입력함수 x(t)와 출력함수 y(t)가 있을 때, 각각의 라플라스 변환은 X(s)와 Y(s)이다. 이때, 입력과 출력의 비를 전달함수 H(s)라고 한다.

 

 

 

전달함수 H(s)를 알면, 어떤 입력 X(s)가 주어지더라도 출력 Y(s)을 계산할 수 있다.

 

 

 

그리고 원래의 출력함수 y(t)는 라플라스 역변환으로 계산할 수 있다.

 

 

 

※ 라플라스 변환과 역변환 계산 방법이 궁금하면, 아래 링크를 참조하면 된다.

2023.06.20 - [Study/Signal Analysis] - 라플라스 변환 (Laplace Transform)

 

 

 

2. 전달함수의 극점 (Poles)

기계진동 시스템에 있어서 전달함수의 극점(poles)은 아주 중요한 개념이다. 수학적으로 보면, 극점(poles)은 ‘전달함수 분모의 근’을 의미한다.

 

예를 들어보자.
다음과 같이 2차 미분방정식으로 표현되는 간단한 진동 시스템이 있다고 해보자. (※ 참고로, 상수 m, c, k는 모두 시불변 상수이며, 모든 초기조건은 0 으로 가정한다.)

 

 

 

이 미분방정식을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

 

 

 

라플라스 변환식을 전달함수 H(s)=Y(s)/X(s) 형태로 정리해보자. 이 때, H(s) 분모의 근을 극점(poles)이라고 한다.

 

 

 

사실, H(s)의 극점(poles)을 구하는 것은 다항식 (ms²+cs+k)Y(s)=0 의 근을 구하는 것과 같다.

 

 

 

단, y(t)≠0 일 때의 비자명해(nontrivial solution)를 구해야 한다. 그래서 결국 다항식 ms²+cs+k=0 의 근을 구하는 것과 같다고 할 수 있다. (※ y(t)=0 인 경우는 자명해(trivial solution)로서 결국 0..., 기계진동계에서는 진동이 없는 상태를 의미한다.)

 

 

 

기계진동 시스템에서 ms²+cs+k=0 는 "자유진동(free vibration) 시스템의 운동방정식" 형태다. 결국, 전달함수의 극점(poles)을 구하는 것은, 기계진동의 자유진동 시스템 운동방정식의 해를 구하는 것과 같다고 할 수 있다. (그래서 전달함수의 극점이 중요하다고 말한다.)

 

※ 이 글에서는 생략했지만... 전달함수의 영점(zeros)이라는 개념도 있다. 수학적으로는, 영점(zeros)은 ‘전달함수 분자의 근’이다. 영점(zeros)은 다음에 기회가 되면 글을 써봐야겠다.

 

끝.