라플라스 변환 (Laplace Transform)

 
공학적 시스템(ex. 진동시스템)을 분석하기 위해서는, 우선 그 시스템을 대변할 수 있는 수학적 모델을 수립하여 “지배방정식”을 도출해야한다. 그리고 몇 가지 수학적 방법을 통해 지배방정식의 해를 구함으로써 그 시스템에 대한 일반적인 결론을 얻을 수 있다.

 

일반적으로, 지배방정식은 “미분방정식”의 형태로 많이 표현된다.

 

수학적으로 미분방정식의 해를 구하는 방법은 몇 가지가 있는데, 그중에서도 미분방정식의 해를 가장 실용적으로 쉽게 구하는 방법은 “라플라스 변환”이 아닐까 싶다.

 

라플라스 변환을 활용하여 미분방정식의 해를 실용적으로 구하는 절차는 다음과 같이 요약할 수 있다.
1. 미분방정식 수립
2. 라플라스 변환 (미분방정식 → 대수방정식)
3. 대수방정식 정리 (부분분수 전개)
4. 라플라스 역변환 (변환표)
5. 미분방정식 풀이 획득

 

이번 글에서는 “라플라스 변환”에 대해 공부한 내용을 정리해봤다. 

 

 

 

1. 라플라스 변환의 정의

어떤 함수를 다른 형태의 함수로 바꿔주는 것을 “변환(Transform)”이라고 한다. 그 중에서 “라플라스 변환(Laplace Transform)”은 라플라스라는 수학자의 이름을 딴 한가지 방법이다.

 

예를 들어보자.
시간에 대한 함수 x(t)가 있다. x(t)에 대한 라플라스 변환은 다음 식과 같이 정의하고 계산한다. 결과적으로 시간에 대한 함수 x(t)를 라플라스 변환하면 복소수 s에 대한 함수 X(s)로 변환된다.

 

 

 

참고로, 라플라스 변환에서는 복소수 s를 라플라스 연산자(Laplace Operator)라고 부르고, 복소수로서 다음과 같이 실수와 허수부로 표현할 수 있다.

 

 

 

개념적으로 표현하면, 시간에 대한 함수 x(t)는 시간 영역(Time Domain)에 있고, 복소수 s에 대한 함수 X(s)는 라플라스 영역(Laplace Domain)에 있다고 할 수 있다. 그래서 라플라스 변환은 "영역(Domain)"을 변환한다고 표현하기도 한다. 

 

 

 

2. 라플라스 변환의 선형성(Linearity)

예전 글에서 “선형시스템”의 특징과 조건에 대한 글을 쓴 적이 있다. 요약하면, 선형이라는 것은 가산성(Additivity)과 비례성(Homogeneity)을 만족하여 중첩의 원리(Superposition Principle)가 성립하는 경우를 말한다.

 

라플라스 변환도 중첩의 원리가 성립하는 선형 변환(Linear Transform)이다. (※ a1 및 a2 는 실수 스칼라 상수이다.)

 

 

 

혹시, 선형 시스템에 대한 설명이 필요하다면, 아래 링크를 참고하면 되겠다.
https://available-space.tistory.com/66

선형 시스템 (Linear System)

 

 

 

3. 라플라스 변환과 다항식(Polynominals)

서두에서, 미분방정식의 해를 가장 실용적으로 쉽게 구하는 방법은 “라플라스 변환”이라고 말한 바 있다. 그렇게 말할 수 있는 이유는, 복잡한 미분방정식 x(t) 함수를 라플라스 변환하면 비교적 풀기 쉬운 “다항식” 형태의 X(s) 함수로 변환되기 때문이다.

 

n차 미분방정식의 라플라스 변환 일반식은 다음과 같이 쓸 수있다. (※ 여기서 x(0)으로 표현된 항들은 미분방정식의 ‘초기조건’에 해당한다.)

 

 

 

예를 들어보자.
x(t) 함수는 어떤 진동시스템의 변위 함수다. 변위 x(t) 의 1계 도함수 x'(t)는 속도, 2계 도함수 x''(t)는 가속도임을 알고 있다. x(t)의 1계 도함수 x'(t)를 라플라스 변환하면 다음 식과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

x(t)의 2계 도함수 x''(t)를 라플라스 변환하면 다음 식과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

이처럼, 라플라스 변환을 하면 미분방정식을 s에 대한 다항식 함수로 변환하여, 상대적으로 쉽게 풀이할 수 있는 상태로 만들 수 있다. (* 게다가 초기조건을 어떻게 정의하느냐에 따라 더욱 단순화시킬 수 있다.)

 

 

 

4. 부분분수 전개(Partial Fraction Expansion)

시간에 대한 함수 x(t)를 라플라스 변환하여 s 및 X(s)에 대한 다항식 함수를 얻었다고 해보자.

 

다음 해야 할 일은 다항식 함수를 적절히 변형하여 라플라스 역변환 추정이 가능하게 만드는 것이다. 이때 가장 많이 사용하는 방법이 “부분분수 전개(Partial Fraction Expansion)” 이다. 부분분수 전개라는 것은, 통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합이나 차로 전개하는 방법을 말한다. (※ 나무위키의 정의를 일부 차용했다.)

 

예를 들어보자.
아래 식의 좌항에는 미분방정식을 라플라스 변환하여 얻어진 s에 대한 다항식이 있다. 우항에는 부분분수 전개를 활용하여 좌항의 다항식을 적절히 변형한 식이 있다.

 

 

 

위 예시를 조금 더 계산해서 A, B, C를 구해보자. 먼저, A를 구하려면 A의 분모인 (s+3)을 양변에 곱한 뒤, s=-3을 대입하여 A를 구할 수 있다.

 

 

 

B를 구하는 과정도 A와 마찬가지다. B의 분모인 (s+2)을 양변에 곱한 뒤, s=-2을 대입하여 B를 구할 수 있다.

 

 

 

C를 구하는 방법이라고 뭐가 다르겠는가. 동일한 방법으로 C를 구할 수 있다.

 

 

 

그러면, 예시로 보여준 다항식이 아래와 같이 완성된다.

 

 

 

위에 설명한 부분분수 전개 방식을 특별히 헤비사이드 방법(Heaviside Method)이라고도 한다. (* 영국의 수학자 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside, 1850~1925)의 이름에서 따 온 것으로 알고 있다.)

 

 

 

5. 라플라스 역변환과 변환표

미분방정식으로 표현된 시간 영역의 함수 x(t)를 라플라스 영역 함수 X(s)로 변환할 수 있다면, 반대로 X(s) → x(t)로 역변환할 수도 있을 것이다. 이를 “라플라스 역변환(Inverse Laplace Transform)” 이라고 한다. 라플라스 역변환은 다음 식과 같이 정의된다.

 

 

 

라플라스 역변환 식을 사용하여 직접 풀이하기는 매우 어렵기 때문에(복소미적분학(?)을 써야한다 함. 나는 잘 모르겠음...), 실용적으로는 앞서 소개한 부분분수 전개를 사용해서 라플라스 영역 함수를 간단하게 만든 후, 라플라스 변환표를 활용하여 역변환을 추정하는 방식이 주로 쓰인다.

 

라플라스 변환표에는 많은 라플라스 변환 관계(Laplace Transform Pairs)들이 정립되어있는데, 그 중 진동 시스템에서 자주 쓰이는 라플라스 변환 관계를 아래와 같이 표로 정리해봤다.

 

 

 

예를 들어보자.
앞서 4장에서 부분분수 전개를 통해 적절히 변환한 다항식을 다시 활용해보자. 다항식 분모에 (s+3), (s+2), (s+1) 이 있다는 점에 주목하여 라플라스 변환표와 비교해보면 "지수 함수의 라플라스 변환" 이었음을 추정할 수 있다. 따라서, 변환표를 활용하여 라플라스 역변환을 추정해보면 아래 식과 같이 쓸 수 있다. (* 라플라스 역변환을 "추정" 한다는 말과 "수행" 한다는 말은 큰 틀에서 같은 말이다.)

 

 

 

 

6. 라플라스 변환으로 미분방정식 풀기(예제)

앞서 공부한 내용을 바탕으로 예제를 하나 풀어보고 마무리하면 좋을 것 같다. 이 예제는 Anders Brandt 의 Noise and Vibration Analysis - Signal Analysis and Experimental Procedures 책에서 발췌하였다.

 

다음과 같이 y''+3y'+2y = x(t) 라는 미분방정식이 있다고 해보자. 이 미분방정식의 해를 라플라스 변환으로 구해보자.

 

 

 

앞서 설명했던 2절, 3절, 5절의 내용을 활용하여 아래 식과 같이 라플라스 변환을 수행했다. 그러자 복소수 s에 대한 다항식으로 변환되었다.

 

 

 

일단, 라플라스 영역의 다항식을 잘 정리하여 Y(s) = something... 의 형식으로 만들어 보자.

 

 

 

그리고, 이제 4절 부분분수 전개에서 소개 및 설명한 내용을 그대로 적용하여, 다항식을 라플라스 역변환에 용이하도록 정리하자.

 

 

 

이제 다 왔다.
마지막으로 라플라스 변환표를 활용하여 복소수 s의 다항식을 역변환 해보자. 앞서 5절에서 소개한 바와 같이 모두 "지수함수"의 라플라스 변환이었음을 추정 할 수 있고, 역변환을 수행하여 모두 시간 t의 함수로 표현할 수 있게 되었다. 이 y(t) 함수가 바로 미분방정식의 풀이 결과다.

 

 

 

끝.