[진동] 단위 임펄스 힘의 수학적 정의와 의미

 

단위 임펄스 힘이란?

단위 임펄스 응답 함수는 정지 상태의 진동계에 단위 크기의 충격력이 작용할 때의 응답을 의미하며[1], 이때 작용하는 충격력을 단위 임펄스 힘이라고 한다.

즉, 단위 임펄스 힘은 아주 짧은 시간 동안 강력한 힘이 작용하여 시스템에 순간적인 변화를 일으키는 힘의 작용을 나타낸다.

단위 임펄스 힘보다는 단위 임펄스 함수라는 용어로 더 많이 사용되며, 유사한 표현의 용어들은 다음과 같다.

• 단위 임펄스 함수 (Unit impulse function)
• 단위 충격 함수 (Unit impulse function)
• 단위 델타 함수 (Unit delta function)
• 디랙 델타 함수 (Dirac delta function)
• 등등등...

 

디랙 델타 함수라고 부르는 이유는, 양자역학을 연구하던 영국의 물리학자 폴 디랙이 이 함수의 개념을 본격적으로 확장하여 사용했기 때문인 것으로 보인다[2].

 

 

단위 임펄스 힘(함수)의 수학적 정의

단순화된 정의로 먼저 설명하자면, 단위 임펄스 함수는 전체 구간에 걸쳐 값이 0이지만 특정 시점에서는 값이 무한대이며 그 힘과 시간의 곱인 충격량이 1인 함수를 의미한다.

어떤 진동 시스템에 가해지는 외력이 단위 임펄스 함수의 형태를 이루는 경우, 단위 임펄스 함수는 다음과 같이 수학적으로 정의할 수 있다. (※ 시간은 t, 특정 시점은 τ, 그 시점에서의 힘을 f(t-τ)로 표시함)

 

단위 임펄스 함수의 개념적 형상은 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다. t=τ가 되는 지점에서의 크기는 ∞(무한대)가 되지만 전체 면적(적분, 충격량)은 1이 되는 매우 좁은 사각기둥 형상으로 볼 수 있다.

 

 

단위 임펄스 힘의 사용

단위 임펄스 힘은 어떤 진동계에 비주기적 함수(non-periodic function)의 형태로 외력이 작용할 때, 합성곱(convolution integral)을 이용하여 진동계의 응답을 구하기 위해 주로 사용한다[3].

다시 말해, 외력이 매우 짧은 시간동안 충격(단위 임펄스 힘)의 형태로 가해질 때, 진동계의 충격응답함수(Impuse response function)를 구할 때 사용한다. 충격응답함수는 진동계에 충격이 작용할 때 발생하는 물리적 현상과 특성을 설명하는 매우 유용한 개념이다.

 

 

※ 참고자료
[1] 대한건축학회 건축용어사전 : 단위 충격 응답 함수 (https://terms.naver.com/entry.naver?docId=6055521&cid=67350&categoryId=67350)
[2] 물리학백과 : 디랙 델타 함수 (https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4389552&cid=60217&categoryId=60217)
[3] 기계진동학 코어 (송철기)